Voir la source de Estimer l'épaisseur d'un trait de crayon à papier

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Suite à une [http://forum.scienceamusante.net/viewtopic.php?f=6&t=2508 question] posée sur le forum, voici une méthode pour estimer l'épaisseur d'un trait de crayon à papier sur une feuille. En effet, il n'est pas possible de mesurer cette épaisseur, très très faible, à l'aide d'un pied à coulisse ! Il faut donc trouver d'autres méthodes astucieuses…

Cette méthode est celle proposée par ''Darrigan'', mais vous pouvez proposer et tester d'autres méthodes.

Lorsqu'une mine de crayon de graphite frotte une feuille de papier, une fine couche de graphite se dépose sur le papier. Le volume de graphite déposé est certes infime, mais il n'est pas nul ! Il doit donc être possible d'estimer cette quantité par une mesure de masse, à l'aide d'une balance de précision.

==Hypothèses==
Les hypothèses (ou approximations) sont les suivantes :
* Hypothèse 1 : On suppose que la mine est en graphite pur, et on utilise la masse volumique du graphite pur : <math>\rho = 2,16\;g.cm^{-3}</math>
* Hypothèse 2 : En crayonnant une surface, on suppose que l'on obtient une épaisseur moyenne identique à celle d'un trait.

==Méthodes==
* Prendre un bout de papier et le peser (masse <math>m_0</math>) à la balance de précision (balance au dixième de mg).
* Porter des gants pour ne pas salir le papier, puis crayonner de façon homogène une surface <math>S</math> connue (par exemple 100 cm<sup>2</sup>, soit un carré de 10 cm de côté).
* Souffler ou passer un chiffon délicatement sur la feuille pour retirer la poudre de graphite qui n'est pas fixée sur le papier.
* Peser à nouveau le papier (masse <math>m</math>) et, par différence avec la masse précédent, on obtient la masse <math>\Delta m = m-m_0</math> qui est celle du graphite déposé.
* En déduire le volume <math>V=\frac{\Delta m}{\rho}</math>.
* Diviser par la surface <math>S</math> pour obtenir l'épaisseur : <math>e=\frac{V}{S}</math>

Résumé en une seule formule :
<math>e=\frac{m-m_0}{\rho S}</math>

Pour plus de précision, il faut une grande surface crayonnée, et un papier de fine épaisseur.

==Application==
[[Fichier:Epaisseur-crayon-papier-1.jpg|frame|link=]]
Test avec un carré crayonné de 5 x 5 cm, soit <math>S = 25 \;cm^2</math>, sur un bout de papier quadrillé.

* Masse du papier : <math>m_0=0,3393\;g</math>

* Masse après crayonnage : <math>m=0,3415\;g</math>

* Masse de graphite : <math>\Delta m=0,3415-0,3393=0,0022\;g</math>

* Volume de graphite : <math>V=\frac{\Delta m}{\rho}=\frac{0,0022\;g}{2,16\;g.cm^{-3}}=0,001019\;cm^3</math>

* Epaisseur : <math>e=\frac{V}{S}=\frac{0,001019\;cm^3}{25\;cm^2}=0,000042\;cm=0,00042\;mm=0,42\; \mu m</math>

==Incertitude==
L'épaisseur s'écrit en fonction des 4 variables du problème :
<math>e=\frac{m-m_0}{\rho S}</math>

L'incertitude absolue de <math>e</math> s'écrit : (attention le <math>\Delta m</math> ici représente l'incertitude sur la masse et non la différence de masse)

<math>
\begin{split}
\Delta e & =\left\vert \frac{\partial e}{\partial m}\right\vert  \Delta m + \left\vert \frac{\partial e}{\partial m_0}\right\vert  \Delta m_0 + \left\vert \frac{\partial e}{\partial \rho}\right\vert \Delta \rho + \left\vert \frac{\partial e}{\partial S}\right\vert \Delta S \\
& =\left\vert \frac{1}{\rho S}\right\vert \Delta m + \left\vert \frac{-1}{\rho S}\right\vert  \Delta m_0 + \left\vert \frac{-(m-m_0)}{\rho^2 S}\right\vert  \Delta \rho + \left\vert \frac{-(m-m_0)}{\rho S^2}\right\vert  \Delta S \\
& =\left\vert \frac{e}{m-m_0}\right\vert  \Delta m + \left\vert \frac{-e}{m-m_0}\right\vert  \Delta m_0 + \left\vert \frac{-e}{\rho}\right\vert  \Delta \rho + \left\vert \frac{-e}{S}\right\vert  \Delta S \\
& =\left\vert e \right\vert  \left( \left\vert \frac{1}{m-m_0}\right\vert  \Delta m + \left\vert \frac{1}{m-m_0}\right\vert  \Delta m_0 + \left\vert \frac{1}{\rho}\right\vert  \Delta \rho + \left\vert \frac{1}{S}\right\vert  \Delta S \right)
\end{split}
</math>

Toutes les quantités étant positives, cela se simplifie en :

<math>\Delta e = e \left( \frac{\Delta m}{m-m_0} + \frac{\Delta m_0}{m-m_0} + \frac{ \Delta \rho}{\rho} + \frac{\Delta S}{S}  \right)</math>

En prenant les valeurs suivantes :

<math>
\begin{split}
\Delta m & = \Delta m_0 = 0,00005\;g \\
\Delta \rho & = 0,07\;g/cm^3 \\
\Delta S & = 0,1\;cm^2
\end{split}
</math>

on trouve :

<math>\Delta e = 0,034\;\mu m</math>

D'où le résultat final arrondi :

<math>e = (0,42 ± 0,04)\;\mu m</math>

==Variantes==
On peut utiliser cette méthode pour estimer la quantité déposée de n'importe quel autre moyen d'écriture : peinture, encre... ou encore l'épaisseur de cuivre déposé sur une plaque de circuit imprimé, etc.