Antennes satellites compactes et fractales

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Une antenne satellite plate.
Tout le monde ou presque connait sur quel principe se basent les antennes satellites dites "paraboles". Mais pourquoi certaines antennes satellites ne sont pas paraboliques et ont une forme rectangulaire ? Ces antennes sont basées directement sur une propriété de certaines fractales, ces courbes mathématiques autosimilaires. Explications.

1 Problématique

Si nous utilisons des antennes ayant une grande surface, c'est pour capter une plus grande quantité d'ondes électromagnétiques en provenance des satellites de télécommunication. Mais alors, toutes les ondes qui arrivent au même instant sur l’antenne, doivent aussi arriver en même temps dans le détecteur.

Les ondes électromagnétiques se déplacent à la vitesse de la lumière. C'est très rapide, mais si deux ondes qui transportent le même signal arrivent avec un petit décalage dans le détecteur, alors les signaux seront mélangés et donc "brouillés".

Comment faire pour que les ondes qui arrivent au même instant en chaque point de l'antenne, se concentrent en même temps dans le détecteur ?

2 Une bonne idée : les fractales

On utilise une propriété géométrique de certaines courbes mathématiques : les fractales ! Ce sont des courbes (ou, plus généralement, des "objets") qui ont la propriété d'âtre autosimilaires, c'est-à-dire que n'importe quel petit morceau de la fractale ressemble à la fractale toute entière.

Pour dessiner facilement une fractale, on démarre par une figure simple. L'étape suivante consiste à remplacer un morceau de cette figure simple par la figure entière mais rétrécie. L'étape est répétée ecore, et encore, et encore... jusqu'à l'infini. Ces étapes sont appelées "itérations".

En pratique, on ne peut pas réaliser un objet réel qui soit une une fractale parfaite (au sens mathématique), car il existe toujours une limite physique aux détails les plus petits (ne serait-ce que parce qu'à l'échelle microscopique, les molécules et atomes sont les objets élémentaires constituants la matière).

Prenons l'exemple de la fractale en T : au départ le dessin est en forme de T. Puis on remplace chaque branche du T par un T plus petit. Ainsi de suite à chaque itération. Voici après 2 itérations :

Fractale-T.jpg

Cette fractale a une propriété : quelle que soit l'extrémité considérée, la longueur entre cette extrémité et le "pied" du T est la même. Par exemple, en notant a, b, c, d les longueurs des segments, on voit bien que la longueur est toujours égale à a+b+c+d :

Fractale-T-bis.gif

3 Application aux antennes satellites "plates"

Donc, si on utilise cette fractale comme un modèle pour fabriquer une antenne plate, alors :

  • En choisissant bien les longueur des segments, on peut couvrir une grande surface de forme rectangulaire.
  • Quel que soit le point sur lequel l’onde arrive, elle parcourt la même distance pour arriver au détecteur : donc même temps de parcours.

Sur cette photographie d'antenne démontée, on voit bien la structure fractale en T du chemin emprunté par les ondes ("guide d'onde") :

L'antenne se compose de 3 parties en plastique métallisé emboitées. Deux parties sont moulées avec une forme de fractale en T. La photographie montre l'une de ces parties, avec en rouge le trajet des ondes sur un côté. Les ondes qui arrivent par un trou, se propage dans ce guide jusqu'au récepteur.

Voilà qui illustre bien l'utilisation des mathématiques, et en particulier la géométrie des fractales, pour une application en physique des ondes électromagnétiques, dans un objet très répandu dans le commerce.


Clovis Darrigan